1981 begann sie ein Jurastudium, in der Folge eines Stipendienjahres in Oxford wechselte sie zu Anglistik, Germanistik und Philosophie. Nach weiteren Auslandsaufenthalten schloss Draesner das Studium 1989 ab; 1992 promovierte sie mit einer Arbeit zu Wolframs von Eschenbach Parzival. Um sich ganz dem Schreiben widmen zu können, kündigte sie ihre Universitätsstelle. 1995 erschien ihr erstes Buch, der Gedichtband gedächtnisschleifen. 1996 zog Draesner nach Berlin, wo sie heute als Dichterin, Prosaautorin und Essayistin lebt.

Sie übersetzt aus dem Englischen, gibt Workshops, Seminare und Poetikvorlesungen. Ihr Werk wurde mit zahlreichen Preisen und Stipendien ausgezeichnet. Mit klarem Blick untersucht es heutige Lebens- und Arbeitverhältnisse. Die Texte, vielschichtig verwoben, nehmen sowohl die geschichtlichen Dimensionen Deutschlands als auch mediale und biotechnische Entwicklungen in den Blick.