Parallelepiped

Parallelepiped

Unter einem Parallelepiped (von griechisch επίπεδον epipedon „Fläche“; Synonyme: Spat, Parallelflach, Parallelotop) versteht man einen geometrischen Körper, der von sechs Parallelogrammen begrenzt wird, von denen je zwei gegenüberliegende kongruent (deckungsgleich) sind und in parallelen Ebenen liegen. Die Bezeichnung Spat rührt vom Kalkspat (Calcit, chemisch: CaCO₃) her, dessen Kristalle die Form eines Parallelepipeds aufweisen.

Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und acht Ecken, in denen diese Kanten in maximal drei verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen. Stellt man diese drei an einem Eckpunkt zusammentreffende Kanten als Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ dar, so ergibt sich das Volumen des Parallelflachs aus dem Betrag des Spatproduktes (gemischtes Skalar- und Kreuzprodukt).

Volumen

Parallelepiped von 3 Vektoren erzeugt

Das Volumen $V$ ist das Produkt der Grundfläche $G$ (Parallelogramm) und der Parallelepiped-Höhe $h$. Mit $G=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \sin \gamma =|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|$ (wobei $\gamma$ der Winkel zwischen ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ ist) und der Höhe $h=|{\vec {c}}|\cdot |\cos \theta |$ ($\theta$ ist der Winkel zwischen ${\vec {c}}$ und der Normalen auf der Grundfläche) ergibt sich

$V=G\cdot h=(|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \gamma )\cdot |{\vec {c}}||\cos \theta |=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|\;|{\vec {c}}|\;|\cos \theta |$

$=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}|\ .$

Das gemischte Produkt nennt man Spatprodukt. Es kann als Determinante geschrieben werden. Für ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})^{T},{\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})^{T},{\vec {c}}=(c_{1},c_{2},c_{3})^{T}$ ist das Volumen dann:

(V1) $\quad V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}\;\right|$

Eine nur von den geometrischen Eigenschaften (Kantenlängen, Winkel zwischen benachbarten Kanten) abhängige Formel für das Volumen ist:

(V2)$\quad V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}.$

Dabei sind $\ \alpha =\angle ({\vec {b}},{\vec {c}}),\;\beta =\angle ({\vec {a}},{\vec {c}}),\;\gamma =\angle ({\vec {a}},{\vec {b}})\$ und $a,b,c$ die Kantenlängen.

Der Nachweis von (V2) lässt sich mit den Eigenschaften einer Determinante und der geometrischen Deutung des Skalarprodukts führen. Es sei $M$ die 3x3-Matrix, deren Spaltenvektoren die Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ sind. Dann gilt

$V^{2}=(\det M)^{2}=\det M\det M=\det M^{T}\det M=\det(M^{T}M)$

$=\det {\begin{bmatrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\end{bmatrix}}=\ a^{2}b^{2}c^{2}\;\left(1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\right).$

(Im letzten Schritt wurde $\ {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=a^{2},...,\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=ab\cos \gamma ,\;{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}=ac\cos \beta ,\;{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=bc\cos \alpha \$ benutzt.)

Oberfläche

Körpernetz eines Parallelepipeds

Der Flächeninhalt der Oberfläche ergibt sich aus der Summe der einzelnen Parallelogrammflächen

$A_{O}=2\cdot \left(|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|+|{\vec {a}}\times {\vec {c}}|+|{\vec {b}}\times {\vec {c}}|\right)$

$=2(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta )\$.

(Zu den Bezeichnungen: siehe vorigen Abschnitt.)

Anmerkungen

• Quader (alle Winkel 90°) und Rhomboeder (alle Kanten gleich lang) sind Sonderformen des Parallelflachs. Der Würfel vereinigt beide Sonderformen in einer Figur.
• Das Parallelepiped ist ein spezielles (schiefes) Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche.
• Jedes Parallelepiped ist ein Raumfüller, das heißt, der Raum lässt sich mit parallelverschobenen Exemplaren von P so überdecken, dass je zwei unter ihnen höchstens Randpunkte gemein haben.

Verallgemeinerung auf den n-dimensionalen Raum (n ≥ 2)

Die Verallgemeinerung des Parallelepipeds in den n-dimensionalen Raum heißt für $n\geq 3$ Parallelotop beziehungsweise n-Parallelotop. Das zweidimensionale Analogon des Parallelepipeds ist das Parallelogramm.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3.

Weblinks

Commons: Parallelepipeds – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Parallelepiped – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Definition des Parallelepipeds aus den Mathematik-Vorlesungen der Universität Stuttgart, abgerufen am 6. Dezember 2020
• Formeln zum Parallelepiped aus dem Duden-Schülerlexikon, abgerufen am 6. Dezember 2020
• Formeln, Beispiele und Übungen zum Parallelepiped aus mein-lernen.at, abgerufen am 6. Dezember 2020
• Parallelepiped-Rechner aus rechneronline.de, abgerufen am 6. Dezember 2020